上週的最後教了等值分數表，但其實等值分數表威力最強大的地方還沒發揮出來，如果將該表細細品嘗你就可以發現，關於「通分」的原理就在那裏面；而通分就會用到公倍數，為什麼是公倍數 ? 和短除法有什麼關係 ? 答案也在裡面。
這邊孩子就和我討論到會有什麼樣的分數國公民 ? 我說一定不會有動物，因為將一隻小松鼠分成四等分也太殘忍了，這就是我們上週提過的道德性；那如果是植物呢 ? 在不傷害根的情況下只敲樹幹或樹枝，就像分數樹一樣，應該是可以繼續生長的，但如果在3的分數樹上隨意再敲幾下，就會分支出其他的分法，那也是有可能的，在這裡我試圖讓孩子想像其實生物的演化也是類似的過程，我們都是從一個細胞開始，透過分裂、變異，最後發展出現在的大千世界。
為什麼要提這個 ? 就是要讓孩子看到每分解一次，數量會呈「倍數」成長，而以分數來說，數值大小會呈「倍數」縮小，要有這個基礎，才好解釋「通分」的由來 ! 因此我真的在這方面花了不少時間，為了做分數加減法的練習，故事也需要繼續走下去 :
當Fraction長大，他必須離開這個小村莊、到大城市去念書，因此他對分數王國的全部公民說 : 「我要幫你們找一個新的國王，但在這個王國裡，沒有人是完整的，所以你們必須找到能讓你們完整組成1的其他同伴，哪一組最先找齊，我就讓他們組成這個王國的『政府』，以後有什麼事情，你們可以共同決定 !」
於是分數王國的每一個「人」開始逢人就問對方是幾分之幾，並嘗試要重新組成完整的一塊，但這個任務非常艱難。例如小松鼠想來幫忙收集不完整的松果，但牠得先判斷牠撿到的碎片究竟是松果還是其他果實，甚至大小形狀也不能差太多，如果「母體」不相同，是不可以隨便加在一起的。因此在這裡我們討論到了分數本質的規則。
除此以外，當他們遇到分母不同的分數時，他們也必須要透過「通分」讓大家成為一樣分母的分數，才能知道加起來是多少，所以如果1/2遇到1/3，他們就必須再繼續分割成更小塊，直到兩人每一等分都一樣大才行。從等值分數表上可以看到，2和3的等值分數表裡同時出現的有1/6和1/12，代表他們兩人都可以再分割成1/6等分或1/12等分，為什麼呢 ? 因為6和12都是2和3的公倍數，呼應之前我們在練習切割時的發現，所以通分時要將公倍數作為新分母來擴分，就是我們得到的結論，因為孩子已經練習了一周的短除法，因此他也可以用短除法來找分母的最小公倍數。
故事繼續發展下去 : 終於有一天，有一顆1/6的小石子遇到一個5/6的大石頭，小石子的形狀與大小剛剛好可以填滿大石頭的裂口 ! 大石頭說他們其實是1/2和1/3共同組成的，1/2覺得1/3和他很像，但原來還差了一點；小石子則說，他也不是一開始就是這個形狀，而是透過一路旅行才慢慢磨合的，所以如果不是經過時間去改變自己、同時繼續尋找沒有放棄，他們永遠也不會遇到對方。
就這樣，分數王國的新政府終於誕生了 ! 是由1/2、1/3和1/6共同組成的大石頭，他們不論到哪裡都是滾著去的，他們會一起討論、一起做決策，他們非常不同，甚至有不同的情緒，但這就是團體好的地方，有人衝動，有人冷靜；有人會提醒其他人沒發現的缺點，也有人能欣賞到別人看不到的優點，這就是互相制約所達到的平衡。
聖經裡提過，上帝拿亞當的一根肋骨來做成夏娃，象徵男人和女人都不是完整的、都要尋找自己的另一半，我們每個人也都跟分數王國裡的居民一樣，因為我們都不完美、都有缺陷，需要別人與自己相互補才能契合。同樣的，如果兩人完全沒有交集，那也無法溝通、甚至不能了解彼此，所以我們都有一部份別人沒有的，也都有一部份大家共有的，這就是「分數」的概念，也是我從四年級的數學課裡終於想通的，這真的不只是數學，而是哲學與世界觀了。
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延伸閱讀 : The Missing Piece / Shel Silverstein
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